1.幸运值

对于$2^n$，最后一位数的规律是$2,4,8,6,2,4,8,6…$

答案是 $20*(n/4)+2^{n \%4+1 }-2$。

2.彩虹岛的大操场

从$(1,1)$跑到$(n, m)$总共需要跑$n+m-2$步，其中有$n-1$步向右跑，$m-1$步向上跑，那么只要从$n+m-2$步中选择$n-1$步就是全部的方法数了。

答案是$C^{n-1}_{n+m-2}$

3.彩虹岛的神秘数字

一、设神秘数字是$x$，$x$是$4$的整数倍，要把x分解成$2$个连续偶数的乘积，就是把$x/4$分解为$2$个连续自然数。

题目就变成了$11…1122…22$分解成两连续自然数的和，这个数字可以看成$2n$个$1$和$n$个$1$。

$11…11$，$n$个$1$乘9之后就可以看成$10^n-1$，那么原式就是$10^{2n}+10^{n}-2$，因式分解得到$(10^{n}+2) \ast (10^n-1)/9=\frac{10^n-1}{3}\ast \frac{10^n+2}{3}=(33…33)\ast(33…34)$再把得到的两个自然数都乘2得到答案。

答案的两个偶数分别是$n$个$6$、$n-1$个$6$和$1$个$8$

二、

$6*8=48$

$66*68=4488$

$666*668=444888$

$…$

$66…66*66…68=44…4488…88$

4.写数字游戏

n偶数先手必胜。n为偶数时，先手选择k=1，写下奇数，奇数的因子只能为奇数，所以后手只能选择一个奇数k，并写下偶数，最后后手能写的最大的数是m-2，此时先手写m-1获胜。

n为奇数先手必败。n为奇数，先手只能写下偶数，同上，后手必胜。

5.彩虹岛的工资

一个$5$和一个偶数可以产生一个$0$，偶数比$5$的个数多，那么末尾$0$的个数只要计算$5$的个数即可

$5$的倍数可以提供一个$5$

$25$的倍数可以提供两个$5$，但$25$的倍数同样是$5$的倍数，所以$25$只能贡献一次答案

$125$的倍数可以提供三个$5$，但$125$的倍数同样是$5$和$25$的倍数，所以$125$只能贡献一次答案

所以答案是$\lfloor\frac{n}{5}\rfloor+\lfloor\frac{n}{25}\rfloor+\lfloor\frac{n}{125}\rfloor+….$（$\lfloor x\rfloor$是对x向下取整）

6.寻找快乐数字

可以先确定第n大的快乐数字有多少位。$1$位、$2$位$…k$位的快乐数字分别有$2$个、$2^2$个$…2^k$个

那么第$n$大的快乐数字就是在$k$位长度的第$n’$大的快乐数字，$n’$是$n-2-2^{2}-…-2^{k-1}$

然后把$1$看作$0$，把$4$看作$1$，就把问题变成了二进制装换的问题，把$n’$装换成二进制，在把二进制中的$01$进行替换就是答案。

7.彩虹岛的”埃菲尔“铁塔

考虑计算面积

先计算第一层和第二层的节点构成三角形，面积是$\frac{d*h}{2}$

考虑之后每两层之间构成的面积，是一个梯形，面积就是上底加下底的和乘高除2。每两层之间的高度确定是h，只需要知道上底和下底。第二层的宽度从第二层开始，第x层增加的宽度是，那么第x层的宽度为，第层x和第x+1层之间的面积就是

答案是

8.排排队

$a[n]$表示n个小球排队的方法数，易得$a[1]=1,a[2]=2,a[3]=4$

当n大于3时，考虑最后一个小球是蓝球或者红球的情况，由于红球不能单个出现，因此小球出现的情况有：

  • 最后1个小球是蓝球
  • 最后2个小球是红球
  • 最后3个以上的小球是红球

最后1个小球是蓝球的情况，对前$n-1$个小球没有要求，只要排前$n-1$个小球，这时有$a[n-1]$种排法。

最后2个小球是红球的情况，那么最后$3$个小球只能是”蓝 红 红“，对于前$n-$3个小球没有任何要求，只要排前$n-3$个小球，这时有$a[n-3]$种排法。

最后3个以上的小球是红球的情况，考虑最后1个小球是红球，只要考虑前$n-1$个小球的排列情况。前$n-1$个小球的排列情况有：最后1个小球是蓝球；最后2个以上的小球是红球。两种情况，最后1个小球是蓝球的情况明显不符合答案；最后有2个以上的小球是红球的情况符合，n个球排列后最后是3个以上小球是红球的情况。所以最后3个以上的小球是红球情况的方法数就是$n-1$的小球排列的方法数，再排除掉$n-1$个小球排列最后1个小球是蓝球的方法数，即$a[n-1]-a[n-2]$。（$n-1$个小球排列最后1个小球是蓝球的方法数可以参考上面讨论的第一种情况）

综合上面三种情况，可以得到递推公式$a[n]=2*a[n-1]-a[n-2]+a[n-3]$